Объяснение парадокса Монти Холла

[Crawling Chaos]

Спонсор поста  Knows Ajed

Я слышал про этот парадокс и раньше, но как-то не придал ему внимания. А сегодня сел и разобрался. Объяснений его тысячи, я же сделаю ещё одно - то как именно сумел понять я.

Суть парадокса (с вики, сама статья):
Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

Ответ

Да, увеличится. Вероятность выигрыша, если игрок поменяет дверь составит 2/3.

Объяснение

Ведущему нужно открыть дверь с козой. Вероятность что у него будет 2 варианта выбора 1/3 (та же ситуация, когда вы выбрали дверь с машиной), что у него будет только 1 вариант 2/3 (вы выбрали ошибочную дверь). Если у ведущего 1 вариант, то чтобы победить вам нужно поменять вариант (то есть вы ошиблись), а так как вероятность такого исхода 2/3, то и вероятность, что вы победите, если поменяете дверь 2/3.
Короче, вся соль в том, что это не ваша вероятность, а вероятности ведущего, потому что он вмешивается в случайный процесс и делает его менее случайным, то есть вероятности исходят с его стороны, а не с вашей.

Процесс поиска истины

Самое главное, что нужно понять, что вероятность успеха увеличивается, только если выполняются следующие условия:
-автомобиль равновероятно размещён за любой из трёх дверей;
-ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
-если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

Таким образом, если ведущий сам не знает, что за 1ой дверью, которую он откроет (то есть может открыть машину, и тогда игра закончится без предложения поменять дверь), то вероятность так и останется 1/3 (при других стратегиях ведущего - другие вероятности, на вики есть интересная табличка)

Я сразу не поверил и естественно проверил - написал скрипт, воспроизводящий эксперимент, со случайными вероятностями и всеми условиями, вот какие результаты я получил:

При разном количестве итераций и других запусках, результат изменялся в пределах стат. погрешности +-2%.
Но в процессе написания кода я увидел самую главную вещь:
Вероятность, того что у ведущего будет выбор какую дверь с козой открыть - меньше чем, то что его не будет.
Вот номера дверей, которые может открыть ведущий, в 10 случайных случаях:

И вероятность того, что выбора у него не будет как раз 2/3, как и шанс не угадать игрока. Из чего и следует ответ.

Короче, я попытался - но что-то мне подсказывает, что вышло у меня не лучше, чем у других попыток xD

Мораль сей басни такова

Моё любимое "Ничто не истинно, и всё дозволено". То что нам может казаться бредом и противоречить здравому смыслу, на самом деле является вполне логичным и естественным, нам свойственны когнитивные искажения и ошибки, а значит никогда нельзя быть уверенным в своей или чужой правоте, пока у тебя не будет четких доказательств и ряда првоеденных экспериментов, как тобой, так и независимыми наблюдателями, не стоит забывать фейл с лучами.

@темы: хаос умничает